Сложный процент в инвестициях

Почему так важно учитывать сложный процент в своей стратегии и как его рассчитать — разбираем на базовых примерах.

Простой и сложный проценты

Простой процент измеряет отношение к одной и той же первоначальной сумме. Пример — купон по облигациям в процентах от номинала. Это просто отношение фиксированного дохода к фиксированной стоимости бумаги.

Облигация стоит 1000 руб., её купон составляет 10%, то есть 100 руб. Сколько бы ни прошло времени, доход считают путём сложения всех купонов. Например, 10% + 10% + 10% = 30% номинала, или 300 руб.

Сложный процент учитывает накопление дохода, то есть считает итог с учётом увеличения первоначальной суммы. Математически это цепочка операций из серии простых процентов.

Акция стоит 1000 руб. и растёт на 10% в год. В первый год её цена вырастет на 1000 * 0,1 = 100 руб. Во второй год на: (1000 + 100) * 0,1 = 110 руб. В третий на: (1100 + 110) * 0,1 = 121 руб. Таким образом, акция будет стоить 1331 руб., или +33,1% за три года.

Как вычислить сложный процент

Чтобы не тратить время на подобные цепочки вычислений, можно воспользоваться более короткой формулой:

S = P * (1 + r) ^ n, где

P — первоначальная сумма

r — ставка (процент)

n — срок

Например, в случае с ростом 1000 руб. на 10% в год на протяжении трёх лет: 1000 * (1 + 0,1) ^ 3 = 1000 * 1,1 ^ 3 = 1000 * 1,331 – 1331 руб.

Если нужно решить обратную задачу, то есть узнать ставку (доходность), когда известны начальная и конечная сумма, то используется обратная формула:

r = (S/P) ^ (1/n) – 1

В примере, где 1000 руб. за три года выросли до 1331 руб., это выглядит так: (1331/1000) ^ (1/3) – 1 = 1,331 ^ (1/3) – 1 = 1,1 – 1 = 0,1, или 10%.

Сложный процент в процентах годовых

На практике инвесторы сталкиваются с тем, что стоимость портфелей или цены активов меняются в течение разных сроков. По этой причине принято приводить доходности отличающихся периодов к одному году.

Для сложных процентов в этом случае формула выглядит даже проще, чем для простых. Можно обойтись однократным возведением в степень:

rg = (1 + rp) ^ (365/d) – 1, где

rg — ставка (прирост) за год

rp — ставка за период

d — срок в днях

Акция выросла на 2% за два месяца. Сколько это будет в процентах годовых? В двух месяцах 59–62 дней (зависит от дат), и доходность за год может составить: (1 + 0,02) ^ (365/60) – 1 = 1,02 ^ 6,08 – 1 = 1,126 – 1 = 0,128, или 12,8% годовых.

Обратная операция, когда нужно вычислить ставку, зная только сумму на начало и на конец периода, в общем виде выглядит так:

r = (S/P) ^ (365/d) – 1

Акция подорожала с 1000 до 1050 руб. за 175 дней. Сколько это в процентах годовых? Вычисляем следующим образом: (1050/1000) ^ (365/175) – 1 = 1,05 ^ (2,086) – 1 = 0,107, или 10,7%.

Эффект сложного процента

Инвесторы уделяют сложным процентам столько внимания, потому что они дают сильный мультипликативный эффект: проценты добавляются к процентам, а прирост — к приросту.

Теперь вы можете это посчитать сами. Например, если нужно оценить, сколько будет стоить ваш портфель через 5, 10, 15, 20 лет. В среднем с учётом всех коррекций на российском рынке акции обычно приносят около 15% в год.

Вложив 100 тыс. рублей, мы получим:

100 * (1 + 0,15) ^ 5 = 100 * 2,01 = 201 тыс.

100 * (1 + 0,15) ^ 10 = 100 * 4,05 = 405 тыс.

100 * (1 + 0,15) ^ 15 = 100 * 8,14 = 814 тыс.

100 * (1 + 0,15) ^ 20 = 100 * 16,37 = 1,637 млн.

На практике инвесторы не держат без изменения свой портфель годами. Для более точных расчётов лучше использовать калькуляторы с функцией пополнения и изъятия или разбивать периоды между вводом/выводом денег.

Но сам эффект сложных процентов действует всегда и без перерывов: пока ваши деньги вложены в акции, они растут в геометрической прогрессии.

Валерий Емельянов, инвестиционный аналитик

Альфа-Инвестиции